¿Qué son los números complejos?

Los números complejos son una extensión de los números reales que añaden un segundo componente imaginario para comprender la geometría y otras aplicaciones matemáticas llamadas "números imaginarios".

Estos se incluyen en aplicaciones en el álgebra lineal, la teoría de grupos y la teoría de números.

Los números complejos se componen de una parte real e imaginaria que se pueden expresar como un número real afectado por la letra "i" para indicar el componente imaginario.

Por ejemplo, (4 + 3i) es un número complejo con una parte real de 4 y una parte imaginaria de 3.

¿Cómo se usan los números complejos en la vida real?

Los números complejos se usan en varios ámbitos, como el cálculo, la computación, la economía y la ingeniería.

Los números complejos ayudan a simplificar los cálculos algorítmicos para varias disciplinas.

Los sistemas de control predictivo utilizan números complejos para realizar cálculos para calcular el estado futuro de un sistema dado una estimación del estado actual del sistema y la información de entrada.

El uso de números complejos también ha encontrado aplicaciones en la economía.

Estas herramientas se utilizan para analizar cómo varias entradas afectan los resultados finales de una organización o situación económica.

Esta información ayuda a los participantes del mercado a tomar mejores decisiones sobre sus inversiones.

Los círculos complejos y la ingeniería

Los círculos complejos se vuelven a menudo en donde interviene la ingeniería. Estos se utilizan para construir sistemas físicos, como por ejemplo rutas de tránsito, recreación de la relación entre equipos y su personal.

Los círculos complejos también se utilizan en televisión de alta definición y en la implementación de redes de comunicaciones, donde es vital utilizar herramientas para analizar las señales de radio.

Aplicaciones de los Números Complejos en la medicina

Los números complejos también se usan en aplicaciones de la medicina. Por ejemplo, se utilizan para identificar con exactitud el comportamiento de un determinado patrón de ondas de un paciente para diagnosticar con mayor exactitud la causa de una enfermedad.

Esta información es especialmente útil en la realización de imágenes médicas como ecografías, tomografías computarizadas y resonancias magnéticas, que requieren análisis de los patrones de onda para identificar con exactitud el origen del problema.

Números Complejos y El Campo de la Geología

La geología es una ciencia aplicada que requiere la interpretación de datos para encontrar tesoros naturales oscurecidos.

Esto exige la comprensión de los patrones subyacentes del movimiento de la Tierra o la entrada de magma hacia una masa de tierra. Los números complejos se utilizan para representar los incertidumbres que existen en los datos y lograr diferentes conclusiones sobre el comportamiento de la Tierra.

Los Números Complejos en la Investigación de la Biología

Los números complejos también se encuentran en los esfuerzos de investigación en el campo de la biología.

Estas herramientas se utilizan para comprender cómo los genes del ADN afectan el comportamiento de los organismos vivos.

Los números complejos pueden ayudar a modelar cómo se relacionan los factores ambientales y la composición genética. Esto es de vital importancia para entender cómo los organismos evolucionan y cómo suceden los cambios a largo plazo en el planeta.

Conclusion

A lo largo de este articulo se pudo ver la amplia aplicabilidad de los números complejos en diversos campos, como la geología, medicina, biología, ingeniería, economía entre otros.

Estas herramientas se usan para comprender los patrones subyacentes y simplificar problemas complejos de una manera simple.

Los números complejos han permitido el avance científico en diferentes campos al otorgar la capacidad de entender la naturaleza a través del análisis matemático.

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Estas herramientas son usadas para descubrir y resolver diferentes problemas en la vida real, formulados en términos matemáticos.

A continuación se explicará para que sirven estas funciones y en que situaciones específicas se usan.

Para que sirven las integrales en la vida real

Las integrales son una poderosa herramienta matemática que desempeña un papel fundamental en numerosos aspectos de la vida real.

A primera vista, pueden parecer abstractas y teóricas, pero en realidad, tienen una amplia gama de aplicaciones prácticas que van desde la física y la ingeniería hasta la economía y la biología.

En este artículo, exploraremos en detalle la importancia de las integrales en la vida cotidiana, descubriendo cómo estas operaciones matemáticas nos ayudan a resolver problemas y comprender mejor el mundo que nos rodea.

Desde calcular áreas y volúmenes hasta modelar el comportamiento de sistemas dinámicos, las integrales son una herramienta esencial que impulsa avances en muchas disciplinas y mejora nuestra comprensión de la realidad.

Movimiento de Un Objeto

La ecuación diferencial es una herramienta matemática usada para predecir y descubrir el movimiento de un objeto. Esta se formula usando la derivada e integral.

La derivada se utiliza para descubrir la velocidad de un objeto en un punto específico y la integral se usa para descubrir la posición en un punto específico.

Esta herramienta es muy útil para predecir el movimiento de objetos en fisiónuclear, ingeniería aeronáutica, ingeniería mecánica y la industria automotriz.

Investigación Científica

Las derivadas e integrales también son usadas en la investigación científica. Estas herramientas matemáticas sirven para descubrir la variación de cualquier magnitud física usando ecuaciones diferenciales.

Estas ecuaciones se usan en el estudio de cosas como movimiento de planetas, la dinámica de los fluidos y la variación de la temperatura.

Estas ecuaciones son usadas en disciplinas científicas como la astrofísica, la mecánica de los fluidos y la física matemática.

Economía y Finanzas

Las derivadas tienen gran influencia en la economía y las finanzas.

Estas herramientas son usadas en el análisis de la volatilidad de diversas clases de activos, el análisis de los riesgos y la construcción de políticas financieras.

Las integrales son usadas para descubrir el valor futuro de un activo o instrumento financiero usando ecuaciones diferenciales.

Los principios de la derivada e integral son claves para la formulación de estrategias para el manejo de inversiones, la adecuada toma de decisiones financieras y la solución de problemas económicos.

Ciencias de la Computación

Las ciencias de la computación se benefician enormemente del uso de la derivada e integral. Estas herramientas matemáticas son usadas en el desarrollo de algoritmos para el análisis de datos, el procesamiento de imágenes, la inteligencia artificial, y muchas otras.

Estas herramientas matemáticas tienen un papel vital para mejorar la precisión, la velocidad de procesamiento y la eficiencia en los diferentes sistemas informáticos.

Ciencias de la Ingeniería

La información descubierta usando las derivadas e integrales es usada como herramienta en la construcción de infraestructuras y sistemas de ingeniería.

Estas herramientas matemáticas son usadas para descubrir características útiles relevantes para la ingeniería, como carga, presión, fuerza y deformación. Las integrales y derivadas también son usadas para descubrir los cambios en la temperatura y las reacciones químicas.

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Existen varios tipos de triángulos, entre ellos el rectángulo y el oblicuángulo. En este artículo vamos a descubrir por qué estos dos son tan diferentes entre sí.

Definición de Triángulos

Un triángulo se define como un polígono de tres lados y tres ángulos.

Esto significa que cada lado de un triángulo se relaciona exclusivamente con los otros dos.

Todos los lados del triángulo van a estar delimitados por ángulos que, alterando su medida o forma, cambiará el tipo de triángulo que se está creando.

Definición de Triángulo Rectángulo

Un triángulo rectángulo es un tipo especial de triángulo acutángulo, es decir, cuyos tres ángulos tienen la misma medida de 90°. Esto significa que el triángulo va a ser isósceles.

El lado más largo del triángulo se conoce como hipotenusa.

Esta línea forma un ángulo obtuso con los otros dos lados, que junto con los otros dos ángulos rectos, completan el triángulo rectángulo.

Definición de Triángulo Oblicuángulo

Un triángulo oblicuángulo es aquel que cuenta con dos ángulos agudos, claramente diferentes entre sí. Pueden ser mayores o menores de 90°. En la mayor tienen diferentes medidas, de forma que la suma de sus lados y ángulos son siempre 180°. Su hipotenusa no es necesariamente el lado más largo, si no que su medida va a depender de las medidas de sus ángulos.

CaracterísticasDel Triángulo Rectángulo

Las características principales del triángulo rectángulo son que:

1. Tiene tres lados.
2. los tres ángulos son iguales a 90°.
3. Su hipotenusa es el lado más largo.
4. Es isósceles

Características Del Triángulo Oblicuángulo

Las características principales del triángulo oblicuángulo son:

1. Tiene tres lados.
2. los tres ángulos tienen medidas diferentes entre sí.
3. Su hipotenusa no tiene necesariamente que ser el lado más largo.
4. Sus ángulos no son necesariamente iguales a 90°.

Comparación entre un Triángulo Rectángulo y un Oblicuángulo

Debido a sus características, los triángulos rectángulos y oblicuángulos son muy diferentes entre sí.

Por un lado, los triángulos rectángulos siempre tienen la misma medida en sus ángulos, pero los Oblicuángulos tienen diferentes medidas en sus ángulos.

Los triángulos rectángulos tienen su hipotenusa como el lado más largo, mientras que en los oblicuángulos su lado más largo puede variar de acuerdo a las medidas de los ángulos.

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La diferencia entre círculo y circunferencia es que el Circulo es el área plana contenida dentro de la circunferencia, mientras que la circunferencia es el "borde" o perímetro que encierra al circulo.

• Circunferencia: borde o perímetro que encierra al circulo.
• Circulo: Área plana contenida por la circunferencia

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Partes de un Circulo

Se define círculo al área delimitada dentro de la circunferencia, y cuenta con las siguientes propiedades geométricas

Radio

Es la distancia del centro del circulo al borde, o mejor dicho, a la circunferencia.

Diámetro

Es la linea recta que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro del circulo, en términos prácticos decimos que el diámetro es el radio multiplicado por dos.

Diámetro = Radio x 2

Arco

Se define Arco al segmento de linea curva que una dos puntos cualquiera en el perímetro de la circunferencia.

Partes de una circunferencia

Como ya dijimos la circunferencia es la línea curva que contiene el área del circulo, las partes del circulo que comentamos arriba también aplican a la circunferencia, pero además se le agregan las siguientes.

• Recta tangente: línea recta que toca a la circunferencia en un solo punto.
• Recta secante: línea recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Referencias

• https://es.khanacademy.org
• www.lifeder.com/arco-geometria

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Para calcular el área de un círculo necesitas saber el radio o el diámetro, es decir la distancia que existe desde el centro de la circunferencia hasta el borde, luego aplicar la siguiente formula (A = Π x r²)

Para que quede todo mas claro y poder explicar los conceptos teóricos antes mencionados vamos con un ejemplo practico.

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1⃣ Ejemplo 1

Cómo calcular el área de un círculo con diámetro

Calcular el área de un círculo cuyo diámetro es de 16cm.

Bien, como dijimos al comienzo, necesitamos conocer el radio, pero en su lugar el enunciado nos entrega el diámetro, que es el doble del radio, con lo cual el r = d/2 = 8cm

Ahora, solo nos queda aplicar la formula A = Π x r² quedando de la siguiente manera.

A = Π x r²

A = Π x (8cm)²

A = Π x (8cm)² = Π x 64cm² = 200,96 cm²

Y el resultado es que el área del círculo es de 200.96 centímetros cuadrados

2⃣ Ejemplo 2

Cómo calcular el área de un circulo con el perímetro

Lo primero, es saber la relación que existe entre el perímetro y el radio, no esta de mas comentar que el perímetro de una circunferencia es la longitud, y se relaciona con el diámetro a través de la siguiente formula.

perímetro = 2Πr (dos pi por radio)

con lo cual, despejando nos queda que el radio es r = perímetro/ 2Π

al reemplazar los valores del enunciado nos queda r = 54,24/ 2x3,14 = 8cm

Ahora que ya conocemos el radio, tenemos que aplicar la formula del ejemplo 1

A = Π x r²

A = Π x (8cm)²

A = Π x (8cm)² = Π x 64cm² = 200,96 cm²

Como seguramente ya te diste cuenta, calcular el área de un circulo es muy simple, dado que solo necesitamos el dato del radio, y si no lo tenemos es cuestión de conocer la relación entre el dato que nos dan en el enunciado para hallarlo.

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El área de un triángulo puede calcularse de diversas maneras, esto dependerá del tipo de triángulo que quieras calcular, para esto te recomiendo que detalles algunos aspectos básicos ya sea la denominación del triángulo o identificar los elementos que visualices en esta figura geométrica.

Con esto podrás verificar el tipo de procedimiento que deberás de guiarte a fin de calcular de manera satisfactoria el área de un triángulo.

Los tipos de Triángulos

Son aquellas formas geométricas que se encuentra como integrante de la familia de los polígonos, los cuales esta conformados por 3 laterales y 3 vértices, cada uno de estos lados está comprendido por ángulos debidamente estructurados. Con esto, la superficie interna del triángulo es conocida comúnmente como área del triángulo.  

Es de tener en cuenta que esta superficie es calculable, y gracias a esto podemos conocer con mayor detalle las dimensiones de esta figura sobre el plano. Para efectuar esto de manera satisfactoria es de tener en cuenta varios factores.

• Es importante conocer la altura del triángulo, ya que este es uno de los datos que requerirá la formula general, sin esto no podrás calcular el área del triángulo, recordando que la superficie de un triángulo se encuentra basado en su base y su altura.
• Al existir varios tipos de triángulo y con ellos diversas formas, es de recomendar que detalles la forma de lados que pueda tener, ya que, a pesar de que pueda varia algunos datos. Lo que influyen en el cálculo son los lados del triángulo.
• Cada triángulo tiene su propia formula particular. Por ende, debes de tener en cuenta el oblicuángulo de los triángulos ya sea un triángulo equilátero, isósceles o escaleno

Formula general para calcular el área de un triángulo.

Para calcular el área de un triángulo, debes de tener presente la formula general el cual establece que el área de un triángulo es igual al producto de la base por la altura dividida por dos.

Con esto, si calculamos el área de un triángulo isósceles, el cual tiene una altura de 15 cm y una base de 12 cm.

¿Cómo sacar el área de un triangulo equilátero, isósceles o escaleno?

Para conocer el área de un triángulo, te recomendado dos métodos:

• A mano alzada donde calculas directamente los lados con ayuda de las formulas
• Mediante una calculadora que tiene integrado un apartado para calcular el área de un triángulo.

Independientemente de la opción que elijas ambos casos será fundamental que reconocer la altura y la base de un triángulo, ya que sin esto no podrás ejecutar de manera correcta la formula matemática requerida. Es de resaltar que, si elegiste la opción de realizar el cálculo del área de un triángulo, de forma manual deberás tener presente las fórmulas de cada una de los tipos de triángulo, a fin de no tener inconvenientes a la hora de sacar la altura:

• Calcular el área de un triángulo equilátero: para calcular la altura podrás obtenerla con el teorema de Pitágoras.
• Calcula el área de un triángulo escaleno: en este caso deberás de implementar el teorema de Herón para sacar la altura del triángulo
• Calcular el área de un triángulo isósceles: al igual que el triángulo equilátero, para este deberás de utilizar el teorema de Pitágoras.

Si no tienes a tu disposición la altura del triángulo al que quieras calcularle la superficie, puede emplear las fórmulas específicas, las cuales generalmente se basan en las medidas de los lados del triángulo.

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En la antigua Grecia entre los años 569 y 475 antes de cristo vivió un filósofo y matemático llamado Pitágoras de Samos, es considerado por la historia como el primer matemático puro, pues contribuyó de una manera bastante significativa al avance de la denominada matemática helénica, la geometría y hasta la aritmética.

Uno de los grandes descubrimientos de este matemático fue el denominado como Teorema de Pitágoras, un cálculo que establece ciertos parámetros para conocer cómo están relacionados todos los lados de un triángulo rectángulo.

Este teorema nos proporciona uno de los vínculos más importantes entre la geometría y el álgebra pues nos permite calcular fácilmente las distancias entre los lados de estos triángulos en términos de coordenadas.

Los estudios de Pitágoras inspiraron a las disposiciones básicas de la ciencia que más adelante sería definida como “Trigonometría” y establecieron las bases que posibilitaron la exploración del planeta tierra, instituyendo la topografía, y facilitando la navegación.

Ahora bien, en los tiempos más recientes el Teorema de Pitágoras ha permitido el estudio de la relatividad general y la relatividad espacial, ambas clasificadas como las teorías más importantes para explicar el tiempo y la gravedad en nuestro mundo.

¿Cuál es la fórmula del Teorema de Pitágoras?

Para establecer que en todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, Pitágoras de Samos se valió de la fórmula siguiente:

A partir de esta ecuación se deducen tres corolarios que permiten la verificación algebraica de la fórmula y su aplicación práctica, los cuales son:

Resolviendo estos cálculos es muy simple demostrar la eficacia del Teorema de Pitágoras.

Demostraciones del Teorema de Pitágoras

Una de las demostraciones más usadas para enseñar la validez de esta fórmula es la de El Zhoubi Suanjing y el Jiuzhang Suanshu Pappus esta data aproximadamente del 500 y el 300 antes de cristo, esta obra se cree que no fue conocida por Pitágoras, pero demuestra fielmente su teorema de la forma siguiente:

Partiendo de un triángulo rectángulo se construye un cuadrado de lado (a + b) que se parte en un total de cuatro triángulos de base a, y altura b, además de un cuadrado de lado c.

A continuación, puedes ver gráficamente la demostración hecha en el Zhoubi Suanjing. En la que a = 3, b = 4 y c = 5.

Explicando de una forma más exhaustiva esta demostración del Teorema de Pitágoras se puede decir que:

Sea el triángulo rectángulo de catetos a y b con hipotenusa c. Hay que comprobar el área del cuadrado del lado c sea igual a la suma de las áreas de los cuadrados del lado a y b, siguiendo la fórmula de Pitágoras de:

A partir de este punto se añaden tres triángulos iguales al original dentro del cuadrado del lado c, formando de esta manera una figura como la mostrada en la imagen anterior. Con esto se obtiene un cuadrado de menor tamaño, en el que se puede observar que efectivamente tiene un lado de b – a.

Luego de esto el área puede expresarse así:

Esto debido a que:

Sabiendo esto, resulta evidente que el área del cuadrado del lado c es la suma del área de los cuatro triángulos rectángulo, que tienen altura a y base b. Los que se encuentran dentro de él más el área del cuadrado menor.

Y con esta fórmula queda efectivamente demostrado el Teorema de Pitágoras.

Conclusión

Gracias al Teorema de Pitágoras y los hechos que prueba es que en la actualidad muchas ramas científicas se encuentran tan avanzadas en el estudio de la forma y disposición de nuestro planeta, brindando explicaciones a la mayoría de fenómenos presentes en él.

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Las ecuaciones de segundo grado son aquellas que tienen la "X" elevada al cuadrado, formalmente se las conoce como funciones cuadráticas.

Antes de empezar a resolver problemas vamos a repasar un poco la teoría, que no viene nada mal a modo de recordatorio.

Marco Teórico

La forma general de la ecuación de segundo grado es la siguiente.

La única condición para que sea una ecuación de segundo grado es que a sea distinto de cero, para que no se anule el termino con "X" al cuadrado.

Si b o c son iguales a cero, decimos que es una ecuación de segundo grado incompleta.

Ecuación de segundo grado incompleta

Estas son las mas simples de resolver, por que hay menos términos involucrados, se pueden dar tres casos posibles.

Primer caso (a=0 y b=0 )

En esta situación, la única solución posible es cero, dado que la ecuación de segundo grado que lo representa es la siguiente.

Segundo caso (solo c=0)

Cuando solo c es igual a cero. las soluciones posibles a la ecuación de segundo grado incompleta son las siguientes.

Tercer caso (solo b=0)

Cuando solo b es igual a cero. las soluciones posibles a la ecuación de segundo grado incompleta son las siguientes.

Ecuación de segundo grado completa

Se dice que la ecuación de segundo grado esta completa cuando a, b y c ≠ 0, y para encontrar las soluciones hay que aplicar la famosa formula resolvente.

Discriminante

El discriminante de una ecuación de segundo grado es un indicador que nos permite conocer el tipo de solución que tiene la ecuación, antes de resolverla.

El signo del discriminante Δ nos indica el tipo de solución que tendrá la ecuación.

Ejercicios resueltos paso a paso

Vamos a resolver 10 ejercicios de ecuaciones de segundo grado, de menos a mayor complejidad.

Ejercicio 1

En la ecuación siguiente, determinar la cantidad de soluciones y las características de las mismas.

Para determinar la cantidad de soluciones que tiene tenemos que encontrar el determínate.

Como el discriminante es positivo entonces decimos que la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales.

Ejercicio 2

En la ecuación siguiente, determinar la cantidad de soluciones y las características de las mismas.

Calculamos el discriminante

Como el discriminante es igual a cero entonces decimos que la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales IGUALES.

Ejercicio 3

Resolver la siguiente ecuación de segundo grado incompleta.

Es una ecuación de segundo grado por que el mayor exponente de la X es 2, y esta incompleta por que falta el termino independiente.

Para resolverlo simplemente tenemos que factorizar y nos queda una ecuación con la siguiente.

Esa ecuación da cero cuando x=0 y cuando x=-4. Dos soluciones reales y distintas.

Ejercicio 4

Encontrar los valores para los cuales la siguiente función corta al eje x.

Tenemos que encontrar las raíces, para eso debemos igualar la función a cero y resolverla, en este caso estamos delante de una ecuación de segundo grado incompleta por que le falta el termino lineal.

La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales DISTINTAS

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Si esta leyendo esto seguramente estés en los primeros años del secundario ¿me equivoco? y como me paso a mi ni siquiera tengas del todo claro que es una función.

Así que bueno, antes de contarte las características de las funciones cuadráticas voy explicarte que es una función y despejes a tiempo esas dudas que si no te van a acompañar toda tu vida.

▷ Definición de Funciones en Matemáticas

En el terreno de las matemáticas, se denomina función a la relación que existe entre dos conjuntos numéricos, donde uno dependa del otro, en términos etimológicos significa la relación "acción" y "efecto".

Dicho de otra manera, se dice que una magnitud es función de otra si el valor de la primera depende de la segunda.

Un ejemplo gráfico seria el siguiente.

Si se fijan, para las magnitudes del primer conjunto se corresponde una y solo una magnitud del segundo conjunto.

La función de la imagen anterior puede ser expresada matemáticamente según la siguiente ecuación.

Si nos fijamos y reemplazamos los valores del primer conjunto en x, nos va a dar como resultado en y el valor correspondiente al segundo conjunto.

• Si x = -3, y = 9
• Si x = 0, y = 0
• Si x = 7, y = 49

Ahora si, hablemos de funciones cuadráticas

▷ Funciones cuadráticas - características

En matemáticas, hablamos de funciones cuadráticas cuando se puede expresar la ecuación mediante la siguiente forma.

Como pueden ver, la ecuación cuenta con tres términos, cada termino tiene un nombre bien definido, se dice que la función esta completa cuando ninguno de estos términos es cero, si alguno fuera cero, la función cuadrática se dice que esta incompleta.

➛ Gráfica de una función cuadrática

La gráfica de una función cuadrática tiene una forma muy particular y importante que entiendas como se comporta o como varia según los términos que te comente antes.

Toda función cuadrática tiene algunas características importantes de conocer, en la gráfica siguiente las marco en rojo, estas son Ordenada al origen - Vértice - y Eje de simetría.

La siguiente gráfica corresponde a la función x2 - 4x - 1

⇨ Ordenada al origen

La ordenada al origen de una función cuadrática es el valor que toma la función cuando x es igual a cero, gráficamente es la intersección de la función con el eje Y de coordenadas.

La forma de calcularlo es muy simple, es el valor de del termino independiente de la función.

⇨  Eje de simetría

El eje de simetría de una parábola o función cuadrática es una linea imaginaria que divide a la función en dos, esta linea siempre pasa por el vértice, se denomina eje de simetría por que parte a la función en forma simétrica.

⇨ Vértice de una función cuadrática

Acá si que no queda otra que hacer cuentas, para calcular el vértice de una función cuadrática tenemos que entender que este es un punto, y esta formado por dos componentes, una componente en Y y otra componente en X.

La siguiente formula nos da el valor de la coordenada x del vértice de la función (comúnmente se lo llama x del vértice)

Para encontrar el Y del vértice hay que reemplazar el valor obtenido en la función de arriba en la parábola original.

⇨ Raíces de una función cuadrática

Se denominan raíces de una función cuadrática o parábola a los valores de x que hacen que la función sea cero.

Gráficamente se pueden ver cuando las "ramas" de la función cortan al eje x. Siguiendo el ejemplo de la gráfica de mas arriba, las raíces serian los puntos que recuadro en verde.

Ahora bien, que ya entendimos conceptualmente que son las raíces, la pregunta del millón... ¿Como se calculan las raíces de una función cuadrática?

¿Como se calculan las raíces de una función cuadrática?

Bueno, acá vamos a tener que hacer uso de una de las formulas mas conocidas en matemáticas, la famosa "formula resolvente"

Esta función nos va a entregar dos resultados, ¿por que dos resultados?, bueno muy simple, como comente antes las raíces representan la intersección de las ramas de la parábola con el eje x, como son dos ramas.. entonces dos resultados.

¡Ojo! , pueden existir algunos casos donde los resultados de la formula resolvente sean números complejos, en ese caso se interpreta que la parábola nunca corta al eje X. Eso sucede cuando las ramas son positivas y el vértice esta por sobre el eje x.

Bueno, ahora que vimos la teoría de todo esto, vamos con un ejercicio resuelto.

▷ Ejercicios de función cuadrática

A veces, la mejor forma de entender y afianzar las ideas es trabajando con ejemplos, así que vamos a desarrollar el siguiente ejercicio resuelto.

➛ Ejercicio 1

Supongamos que tenemos la siguiente función cuadrática y nos piden calcular X del vértice e Y del vértice, las raíces y la ordenada al origen.

Lo primero que tenemos que hacer es identificar los valores a,b y c de la función cuadrática, en este ejemplo son los siguientes.

• a = 1 (el numero que multiplica a la x en el termino cuadrático)
• b = 8 (el numero que multiplica a la x en el termino lineal)
• c = 15 (el termino independiente)

⇨ Calcular X del Vértice

Para calcular X del vértice solo tenemos que aplicar la formula siguiente, donde tenemos que reemplazar los valor de a y b correspondientes.

Con lo cual, el X del vértice de nuestra parábola es el siguiente.

Ahora bien, para obtener el Y del vértice simplemente hay que reemplazar el valor del X del vértice en la función cuadrática.

⇨ Raíces de la función cuadrática

Acá tenemos que aplicar la formula cuadrática, la que comúnmente llamamos "formula resolvente", ya tenemos identificado del punto anterior los correspondientes valores de a, b y c así que solo tenemos que reemplazarlos en la formula.

¿Que significan estos valores?, es muy simple y como dije anteriormente representan los valores de X donde las ramas cortan al eje X. Solo basta con graficar la función y ver que no nos equivocamos en los cálculos.

Quizás no se note del todo bien en la imagen de arriba, pero en los recuadros se puede ver que las ramas de la parábola cortan al eje X en los puntos que calculamos anteriormente.

▷ Vídeo Explicativo

Por si no quedo del todo claro la explicación les comparto un vídeo sobre lo mismo, espero que les sirva.

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Antes de entrar de lleno en las operaciones con números complejos, vamos a comenzar por el principio.

Los números complejos, a diferencia de lo que muchos piensan, son muy utilizados para resolver problemas reales en el campo de la ingeniería e incluso en la física. Está la creencia que solo son una invención para resolver las raíces de número negativos, y que no tienen aplicación práctica en la vida real.

Lamento decirte que esa es una creencia muy muy errada.

Pero entonces, ¡Vamos por pasos!

▷ ¿Qué son los Números Complejos?

Los Números Complejos son un par ordenado de números reales, donde a una de sus partes se la denomina «parte real» y a otra «parte imaginaria» y forman parte de un conjunto numérico que contiene la totalidad de los números reales.

En cuanto a la forma de expresarlos, se los suele representar como la suma de la parte real y la parte imaginaria, a este tipo de representación se la denomina forma polar de un numero complejo.

▷ Conjugado de un Número Complejo

Todo numero complejo tiene su conjugado, pero ¿que es exactamente esto?, bueno el conjugado de un numero complejo es el mismo numero pero con la parte imaginaria opuesta, es decir que se le cambia el signo en la forma polar.

Siempre, el conjugado de un número complejo será simétrico respecto del eje real. gráficamente sería lo siguiente.

▷ Unidad imaginaria de un Número Complejo

Acá esta la magia de todo, la unidad imaginaria es representada por la letra i. y tiene la particularidad que al elevarlo al cuadrado da como resultado menos uno.

Esto es una de las bases fundamentales de los números complejos, permite resolver raíces de polinomios que no tienen respuesta en el conjunto de los reales.

▷ Operaciones con números complejos

Las operaciones con números complejos que se pueden realizar son las mismas que en los números reales, es decir se pueden realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.

➛ Suma de complejos

Sumar números complejos es muy simple, es igual que lo hacemos con los vectores, donde sumamos miembro a miembro, es decir sumamos la parte real de uno con la del otro y la parte imaginaria de uno con el del otro, pero vamos con un ejemplo para que se entienda mejor.

Para sumar estos dos complejos, como dije anteriormente, tenemos que hacerlo miembro a miembro, por un lado la parte real y por otro la parte imaginaria, el resultado que nos queda es el siguiente.

➛ Resta de complejos

Bueno, es igual de simple que la suma, tendremos que restar miembro a miembro y listo, supongamos que queremos restar los dos números complejos anteriores, nos quedaría lo siguiente.

➛ Multiplicación de complejos

Dado que estamos multiplicando dos binomios, tenemos que hacer uso de la propiedad distributiva. El producto de dos números complejos es un numero complejo.

Vamos con un ejemplo.

➛ División de dos números complejos

Esta operatoria es un poco mas difícil que la suma y la resta que vimos anteriormente, así que vamos por pasos.

Supongamos que queremos realizar la siguiente operación de división, el secreto está en multiplicar y dividir por el conjugado del complejo del denominador.

Dividir dos números complejos no es algo difícil de hacer, pero muchas veces puede resultar laborioso, lo importante es que aprendamos el procedimiento.

▷ Representación gráfica de un número complejo

Para representar gráficamente a un número complejo, en el eje horizontal vamos a representar la coordenada Real mientras que en el eje vertical vamos a representar la parte imaginaria, el punto de intersección entre ambas coordenadas va a ser el número complejo representado.

Miremos con atención la imagen anterior, estoy graficando los dos números que trabajamos a modo de ejemplo a lo largo de todo el artículo.

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QUE ES FACTORIZAR UN POLINOMIO DE GRADO 2

Factorizar no es ni mas ni menos que expresar un numero como la multiplicación de otros números menores por los cuales se pueda dividir. Puede sonar complicado, pero la realidad es que es muy simple, el siguiente ejemplo demuestra la simpleza del concepto.

Supongamos que queremos factorizar el numero 80, ¿como lo expresaríamos?, como la multiplicación de 8 por 10. Muy simple.

FACTORIZAR UN POLINOMIO DE GRADO 2

Ya vimos que significa Factorizar, entonces ¿a que se refieren los profesores cuando nos piden factorizar un polinomio de grado 2?, lo que nos están pidiendo es que expresemos ese mismo polinomio con multiplicación de polinomios de grado 1, es el mismo concepto. Miremos el siguiente ejemplo.

COMO FACTORIZAR UN POLINOMIO DE GRADO 2

Para hacerlo de forma practica y segura tenemos que hacer uso de una formula, en la mayoría de los institutos educativos se la enseña como la formula "resolvente", aunque su nombre original es formula de "Bhaskara", que fue deducida por el matemático indio Bhaskaracharya.

La formula que tenemos que utilizar es la siguiente, esta formula nos dará dos resultados, cada uno de ellos representan las raíces de la función original, es decir donde el polinomio original es igual a cero.

Veamos un ejemplo, utilicemos el mismo polinomio que planteamos anteriormente y supongamos que nos piden  factorizarlo.

Lo primero que tenemos que hacer, es reemplazar los coeficientes de nuestro polinomio en la formula resolvente (números que multiplican a la x y el termino independiente).

En nuestro ejemplo a = 1; b = 1; c = -2, identificado esto el paso siguiente es colocarlos en la formula resolvente, como en la imagen siguiente.

Esta ecuación nos entrega dos resultados, como dijimos antes, son las raíces o ceros de la función.

¿Que significa ese resultado?, que al reemplazar el polinomio por x = 1 o por x = -2 el polinomio da como resultado cero.

Ahora el paso siguiente es armar la multiplicación, de factores, este es el paso mas simple, solo tenemos que colocar (x - resultado obtenido) y multiplicarlo entre si, es decir hacer lo que muestro en la siguiente imagen.

Listo, esa multiplicación de factores es el polinomio factorizado, para verificar que esta bien echo, simplemente tenemos que hacer la multiplicación, y nos debería quedar el mismo polinomio que teníamos al inicio.

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En uno de los artículos anteriores, dejamos en claro de que estamos hablando cuando hablamos de prismas, te dejo el link para que lo leas si aun lo lo hiciste, ¿que es un prisma?.

En este articulo vamos a ir un poco mas en detalle, tratare de explicarles como tenemos que hacer para calcular el área y volumen de un prisma rectangular y no morir en el intento. si, exagere un poco, no es para tanto

Vamos al grano.

CÓMO CALCULAR EL ÁREA DE UN PRISMA RECTANGULAR

El área de un prisma rectangular se calcula conociendo los lados de la base rectangular y su altura, con esos dos datos ya podemos calcular el área y el volumen sin problemas.

Cómo dije en el articulo anterior, Un Prisma Rectangular es un poliedro cuya superficie está formada por dos rectángulos iguales y paralelos entre sí, llamados bases y por cuatro caras laterales que son paralelas e iguales, dos en dos (también son rectángulos).

Para calcular el área tenemos que hacer dos cálculos, primero calcular el Área de la base y luego el Área de las laterales.

CALCULO DEL ÁREA

Cuando hablamos del área de la base nos referimos al "piso" y al "techo" del prisma, supongamos el siguiente ejemplo.

El área de la base se resuelve multiplicando 4cm por 3cm, como también tenemos que tener en cuenta el techo, entonces tenemos que multiplicar el resultado por dos.

Ahora tenemos que hacer lo mismo pero con los laterales, en este ejemplo deberíamos multiplicar 3cm * 7cm, pero como tenemos 4 caras laterales idénticas ese resultado tendríamos que multiplicarlo por 4.

Lo siguiente es simple, tenemos que sumarizar las áreas anteriormente calculadas para obtener el área total de nuestro prisma rectangular.

En resumen, podemos calcular el área de un prisma rectangular mediante la siguiente formula.

Sigamos practicando, veamos el siguiente ejemplo.

PRIMER EJEMPLO

Tenemos la misma figura del ejemplo anterior pero con diferentes medidas, veamos que aplicando la ultima formula obtenemos el área rápidamente.

SEGUNDO EJEMPLO

(un poco mas difícil )

Supongamos que tenemos el siguiente prisma rectangular, que bien podríamos pensarlo como una jaula, y nos piden que calculemos el área de toda la superficie sin incluir la puerta (rectángulo gris de la figura). Además, imaginemos que sólo está tapada por la parte superior de la misma (no posee un suelo ya que al estar apoyada no lo necesita).

Entonces, si necesitamos pintar toda la jaula sacando su puerta, ¿cómo se podría calcular cuánto material necesitaremos para cubrirla?

Cómo sabemos que esta jaula no posee un piso y tampoco debemos tomar en cuenta la puerta, siguiendo los lineamientos de los conceptos mencionados anteriormente, el calculo quedaría de la siguiente manera.

Luego, al realizar los cálculos nos queda el siguiente resultado.

Y así es como podemos utilizar la fórmula original en caso de que sea un prisma rectangular convencional o también cómo podemos adaptar esta para que pueda ser de utilidad en caso de problemas dónde debemos quitar o restar ciertas partes del prisma.

CÓMO CALCULAR EL VOLUMEN DE UN PRISMA

Entendemos por volumen la medida del espacio ocupado por un cuerpo de tres dimensiones, vamos a calcular el volumen del siguiente prisma.

PRIMER EJEMPLO

En el caso del volumen, la fórmula es incluso más fácil. Simplemente tenemos que calcular el area de la base y multiplicarla por la altura.

La unidad el Volumen es en unidades cubicas, dado que es un sistema tridimensional, en este caso como lo estamos haciendo en centímetros el resultado debe estar en centímetros cúbicos.

"Es importante que siempre escribas las unidades de volumen en el resultado"

EJEMPLO 2 

Muchas veces nos puede pasar que queremos conocer el volumen que ocupará un objeto que vamos a adquirir, ya sea un ropero, un escritorio, una mesa, etc. Esto se calculará de la misma manera en la que venimos haciendo hasta ahora.

Imaginemos que vamos a comprar una mesa que tiene las siguientes medidas:

Ahora, simplemente debemos de reemplazar los datos en nuestra formula que vimos anteriormente. Que nos quedará de la siguiente manera.

Espero que con estos ejemplos que comentamos te quede claro el la idea y la metodología de resolución de los problemas, te quiero invitar a que revises lo siguientes artículos, puede ser de ayuda para seguir aprendiendo.

• Que es un prisma
• Prisma triangular

También quiero compartirte el siguiente vídeo, de Khan Academy, que sin dudas puede ser de gran ayuda

¡Si te fue de utilidad el artículo no dudes en dejarme tus cinco estrellas aqui debajo !

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